東大合格者が「2022年共通テスト数学ⅡB」を徹底解説!


受験生の皆さん、こんにちは!

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今回は、2022年の共通テスト数学ⅡBを徹底解説していきます✊

私自身が現役プレイヤーなので、学校の先生や予備校講師といった指導者目線ではない、プレイヤー目線でまた違う徹底的に語りつくすことができるのでは?

と思い作成しましたm(__)m


ただ・・私、確率分布は未修でわからんのです。

ごめんなさいm(__)m


今回は理系科目難化と噂されていますが、難易度では凶悪で名高い数ⅠAよりは全然マシかな。

むしろ、問題量と完答のしにくさで潰しにかかってる感じでしょうか💦

では、早速問題を見ていきましょう!!

第1問



[1]

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解答


(1)

スライド2


分析

ただ平方完成して円の式を作るだけです。(x-2)²+(y-5)²≦25は点(2,5)からの距離が√25=5以下の部分全体を指します。

(2)


(ⅰ)
y=

分析

実際に円を描くとx軸に接することがわかるので、y=0はすぐわかります。

(ⅱ)
⓪ 重解をもつ

分析

円と直線が接するということは、両者の共通解はただ1つ・・・ということなので、判別式=0が成り立ちます。

(ⅲ) 易~やや易

スライド3


分析

tanθの値は楽勝でしょう!

y=0ともう1本の接線のなす角については、円外から2本接線を引いたときの性質(中学で習いましたよね?)に注目します👀

(ⅳ) やや易

スライド4



分析

(判別式)=0を解くでもtan2θを求めるでもいいけど、明らかに後者の方が計算は楽でしょう💦

kの範囲は図から明らかです。

[]

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解答

(1) やや易

スライド5



分析

後半は対数(log)の意味をきちんと理解できていない受験生は詰んだかも…答えるのは、1/4を-3/2乗した値ですよ~。

(2) やや易
(ソ)、(タ)

分析

これも対数(log)の意味が理解できていればできる問題。

(3) やや易~標準
(チ) 3  、(ツ)  

分析

面倒くさがらずにグラフを描けば見えてきます👀0<a<1とa>1でグラフの形は違いますよね。

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(4)やや易~標準

分析

(3)より、0<a<1のときのlogabとlogb aの大小関係が出ました。選択肢の底はすべてpです。

1/p=13/12≒1.083、q=12/11≒1.091、r=14/13≒1.077に注意して比較検討すると、大小関係が求められます。

第2問


[]

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解答

(1)
(ア) 、(イ)

分析

f'(x)=3x²-6aであり、a=0のときf'(x)≧0、a<0のときf'(x)>0。両者とも単調増加ですが、前者では接線の傾きが一瞬0になります


(2) やや易

(ウ) 、(エ)

スライド6


分析

a>0のとき、f'(x)=0を満たすxは2個存在することから、増減表を書けばグラフの概形も描けます。よって、条件を満たすpの範囲も求められます。




(3) 標準
(ケ)、(コ)

分析

(1)の結果の利用、反例を挙げる等の作業により、1,4以外の選択肢の誤りを指摘すれば解けます。

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[]

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解答


(サ~ス) 

スライド2

分析

g(x)=h(x)を解くだけです。2次方程式になるので簡単。

(セ)~(タ) 易~やや易
(セ)、(ソ)、(タ)

分析

これはC₁とC₂の大小関係を調べて概形を書けば簡単です💡

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(チ~ノ) やや易

スライド3
スライド4


分析

(タ)で出た式を具体的に計算するだけの問題です。なお、t=bでS=Tが成り立つのは、積分範囲がbからtであることから読み取りましょう🧐

第3問

確率分布は未修でわかりません、ごめんなさいm(__)m

第4問

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解答

[1]


(ア~ウ) やや易
(ア) 、(イ) 、(ウ)

分析

まず問題条件の解読に手間取りますね💦しかし、条件に従って、歩行者と自転車を動かせば数値は出ます。詳細は下図参照👇

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(エ~コ) 標準

スライド5
スライド6



分析

自転車の動きを正確に把握すれば、丁寧な調査により漸化式は立ちます。とはいえ、共通テストにしてはややレベルが高いかな~💦

漸化式は誘導通りまずbnを求めます。その後、anを解答のように引き算を足す形にして導出します

[]

(サ~セ) 標準~やや難

スライド7



分析

(ケ)(コ)の正解が前提なので、やや難度は高いです。

ここでは、自転車が歩行者に追いつくときのy座標が300以下となるnを求めるとスムーズです。

時刻はx座標を求めるといいですね。

第5問

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まず様々な条件を図式化します✊

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解答

[]

(ア~ケ) 易~やや易

スライド2
スライド3



分析

cos∠AOBの値は、内積の定義を知っていれば簡単に出ます!内分点のベクトル表記垂直条件は基本事項なので、問題ないでしょう。

[]

(コ~シ) やや易

スライド4


分析

扱いやすいのはOA,OBなので、内積OC・CQをOA,OBのみを使って表す工夫をしましょう💡

あとは、お馴染みの垂直条件でkの値は出ます!

(ス)、(セ) 標準
,

頭で考えるより丁寧に図を描いた方が速いです。直線OAをℓ₁、直線OBをℓ₂として、k>0の場合とk<0の場合を図示すると下図のようになります👇

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(ソ~ツ) やや易

スライド5
スライド6



分析

①,②を用いる誘導があるので、k,tの具体的数値を代入してOA,OBのみの表記にすれば答は出ます。

(テ,ト) やや難

スライド7



分析

Rは直線ACに関するQの対称点で、OR=√6となるtを求めればいいのです。

kを消去してtだけの式にしますが、この処理がなかなか厄介ですね~。

計算の煩雑さに心が折れた受験生も多くいたことでしょう💔

総括

以上で、共通テスト数学ⅡBの解説を終わりますm(__)m


センター試験含め、直近5年間ではやや難しい回ですね。

難易度自体は2013年,2015年と大差ない感じですが、量が多いのと題意把握に手間取る点で、体感難度はより結構高く感じたのかな?と思います💔


手間取り箇所は・・・第1問[2]の最後、第2問[1]の最後、第4問の漸化式、第5問の最終問ですかね。