2021年 東大理系数学第5問


(1)
パターン問題。「f’(θ)=0となるθが0≦θ≦πに1つ」⇒f ’’(θ)の単調増加(減少)を示す」
とりあえずf ‘’(θ)まで求める。

この時点では、f ‘’(0)=0、f ‘’(π)=4>0はわかるけど、その間の増減はハッキリしない。
ただし、0≦θ≦πでf’’(θ)>0を示さないと埒が明かない。どうするか?



(手段1) もう1回微分してみる(3回微分はあまりしないけど)
(手段2) f ‘(θ)を上手に変形する、cosθとsinθの共存に着目し、tanθでまとめてみる


(手段1)

おお!3回微分で見事にsinθの項が消えた😍


(手段2)


(2)
f ‘(θ)=0なるθをγとすると、θ=γでf(θ)は最大値をとる。
また、θ=γで f’(γ)=0 ⇒ γ+α-2tanγ/2 =0を満たす。

①の方法だと、f ‘(π/2)=π-4+2α<0であれば、γは0<γ<π/2にあり条件を満たすので、
αの範囲は 0< α < 4-π/2

②の方法だと、定数分離(典型パターン!)の手法が使える。α=2tanγ/2 -γ(0<γ<π/2)で、
Y=h(γ)=2tanγ/2 -γが、Y=αと共有点をもつ条件を考えるとよい。

h(0)=0、h(π/2)=4-π/2であり、
h’(γ)=(2/cos²β/2)× 1/2 -1=1- cos²β/2 / cos²β/2 >0より
h(γ)は単調増加なので、αの範囲は 0< α < 4-π/2



【講評】
(1)で3回微分する前に諦めた受験生がいそう。まあ普段滅多にしないからね。
ただ、「今まで3回微分した経験ない→した経験がないから諦める」といった、パターン暗記や
固定観念に囚われた受験生を跳ね返すという意味では良問ですね。

なお、(2)はおまけで、第5問は今年のセットでは簡単な方。
ほぼ0点or満点に二極化する大問で、混ぜるな危険!ならぬ「落とすな危険🚫」問題である😅
理Ⅲでこれ落としたら致命的でしょうね・・ひぇ~😅

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