2021年阪大理系数学第5問

第5問は三角関数絡みの問題ですか・・・(2)がなんかややこしそうですが、手を動かすうちに
解法が見えるのかもしれませんね🧐

そういや、阪大は150分で5問だから、6問構成の東大京大より時間的余裕はありそうですね⌚

(1) y=xがx=0におけるy=tanxの接線であることを知っていれば、x-tanxが-π/2~π/2で
単調増加するイメージは容易につくが・・・
   これではfeelingによる解答とみなされるので、きちんと式証明する必要はある

f(x)=x-tanxとおくと、f’(x)=1-1/cos²x=-tan²x<0より、f(x)は単調減少で、
lim(x→-π/2) f(x)=+∞、lim(x→π/2)  f(x)=-∞だから、
x-tanx=aの実数解は-π/2<x<π/2の範囲にちょうど1個ある。


(2) まずy=sinxのx=t(-π/2<x<π/2)における接線の式は
y=(cost)(x-t)+sint=(cost)(x-t+tant)。
また、x=t‘(t>π/2)におけるy=sinxの接線は
y=(cost’)(x-t’+tant’)と表される。

両者は一致するので、まず直線の傾きについて、cost=cost’となり、
t’は自然数mを用いて、t’=t+2mπまたは-t+2mπと表される。
また、sint-tcost=sint’-t’cost’が成り立つが、t’=t+2nπとすると、tcost≠t’cost’より不適。
よって、t’=-t+2mπとなり、
このとき、sint-tcost=sin(-t+2mπ)-(-t+2mπ)cos(-t+2mπ)
→ 2sint=2tcost-2mπcost → tant=t-mπ →t-tant=mπ が導かれる。

   ∴tはx₁,x₂,・・・・・のいずれかと等しくなる。


【講評】
(1)→ 差をとって単調性を示すよくあるパターンなので取る。
(2)→ 接点のx座標を2つ用意し両者が一致する条件から丁寧に求めるが、難しくはない。

世界一シリーズで阪大数学に慣れ、理解を深めましょう。

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