2021年阪大理系数学第4問

第4問は整数問題です。(1)(2)とも難問ではないけど、受験生の弱点(盲点?)を突いてくる
問題だったと思います。解法に詰まった方はよく復習しておきましょう。

(1) (*)を変形して

 両辺b-a(≠0)で割ってb倍すると、3c²=-(2a+b)(a+2b)。
  これより、(2a+b)(a+2b)は3の倍数であり、(2a+b)+(a+2b)が3の倍数であることから、
  2a+b,a+2bのうち一方のみが3の倍数となることはなく、(2a+b)(a+2b)は9の倍数となる
 よって、c²が3の倍数となることより、整数cは3の倍数となる。
  ∴cは3の倍数

(別解)

(1)3c²=-2(b²+ab+a²)-3abと変形した場合、2と3は互いに素より、
   b²+ab+a²が3の倍数である。a²,b²,abを3で割った余りが0または1であること
   に着目すると(ア) a,bはともに3の倍数 か (イ)a,bはともに3で割り切れないとわかる。

(ア)のとき
 b²+ab+a²とabがともに9の倍数であることより、c²が3の倍数、つまりcが3の倍数
 であることがわかる。

(イ)のとき
・(a,b)=(3m+1,3m’+1)(m,m’は整数)としたとき
-2{(3m+1)²+(3m+1)(3m’+1)+(3m’+1)²}-3(3m+1)(3m’+1)=(9の倍数)。

・(a,b)=(3m+2,3m’+2)としたとき
-2{(3m+2)²+(3m+2)(3m’+2)+(3m’+2)²}-3(3m+2)(3m’+2)=(9の倍数)

・(a,b)=(3m+1,3m’+2)としたとき
-2{(3m+1)²+(3m+1)(3m’+2)+(3m’+2)²}-3(3m+1)(3m’+2)=(9の倍数)で、
文字の対称性より(a,b)=(3m+1,3m’+2)のときも成立。

    ∴(1)(2)よりcは3の倍数。


(2)
 c=3600=2⁴×3²×5²より、3c²=2⁸×3⁵×5⁴。
 ここで、2a+b=3k,a+2b=3ℓ(k,ℓは整数)とおくと、a=2k-ℓ,b=-k+2ℓとなり、
 (2a+b)(a+2b)<0とa<bより、2a+b<0,a+2b>0であり、k<0,ℓ>0。
 k≠ℓより、a≠bは成立している。

すると、2⁸×3⁵×5⁴=-3k×3ℓ→2⁸×3³×5⁴=(-k)×ℓ。
(-k)がある値をとるとき、ℓは1個に定まるので、
(-k,ℓ)のとりうる組の数は(8+1)×(3+1)×(4+1)=180個。
また、(k,ℓ)が決まると(a,b)もただ1つに決まる

∴求める整数(a,b)の個数は180個。


【講評】
(1)→(2a+b)+(a+2b)=(3の倍数)を自分でいう部分が難しい(言われればわかる)。
(2)→約数の個数をどう求めるか知っているか否かで明暗が分かれた。


私は世界一シリーズを推します。これで阪大数学に対応できる力をつけましょう。

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