2021年阪大理系数学第3問

第3問は数Ⅲ微積の融合問題でした。(1)は超頻出タイプで実際に簡単ですが、(2)(3)に進む
につれて骨のある問題と変化していきます。さあ、どこまで手が出るか試してみましょう👊

問1 まずx=tを代入すると、左辺も中辺も0になる。
差をとって単調増加(減少)を示すよくあるパターン!   

∴ 題意の不等式が成り立つ


問2

問3 (2)の∫(t→t+1/n) logxdxの形から、t=1+k/n(k=0~n-1)とおくことを考える。
   t=1としたくなるが、それでは1+1/n,1+2/n,・・・・1+n/nのすべてを表せない。

【講評】
(1)→ 差をとって微分の非常によくある典型問題なので、できないとまずい。
(2)→ 左辺と中辺は(1)の不等式の左辺と中辺をxで積分すると出そうだ!と見当をつけたい。
(3)→ tに何を代入するかで明暗が分かれたが、それをクリアしてもなかなか煩雑。


(3)は結構手応えのある問題でした!落とした合格者も結構いたでしょうが、このレベルに対処
できる実力を養っておけば1ランク上の京大レベルでも数学で有利になると思います。

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