2021年阪大理系数学第2問

第2問はベクトルでした。まあよくある問題とは思いますが、どこに難所があるんだろうか?
と探る気で解いてみると一段と問題を楽しめるかもしれません🙄




4点O,A,B,Cは同一平面にない→△ABCを含む平面上にOはないから、四面体O-ABCが存在する。(2011年京大理系数学【6】にこれの証明問題がある!)あとは、OA→、OB→、OC→を使った
ベクトルの問題として解ける。


(1)
条件よりOA₀→=1/2OA→、OB₀→=1/3OB→、OP→=sOC→、OQ→=(1-t)OB→+tOC→。
「4点A₀,B₀,P,Qが同一平面上にある」を言いかえると・・・

⇒「A₀Q→はA₀B₀とA₀Pを含む平面上にあるので、A₀Q→=kA₀B₀→+ℓA₀P→(k,ℓは実数)
のように表される。
」と読み取れる。

A₀B₀→=OB₀→-OA₀→=-1/2OA→+1/3OB→
A₀P→=OP→-OA₀→=-1/2OA→+sOC→+(1-s)OA→
A₀Q→=OQ→-OA₀→=-1/2OA→+(1-t)OB→+tOC→

4点A₀,B₀,P,Qが同一平面上にあるので
A₀Q→=kA₀B₀→+ℓA₀P→={-1/2+k/2-ℓ(1/2-s)}OA→+(1-t-k/3)OB→+(t-sℓ)OC→=0
で、OA→、OB→、OC→は1次独立だから
(定義を確認⇒この場合、OC→はOA→とOB→だけでは表せないと捉えればよい!

-1/2+k/2-ℓ(1/2-s)=0・・(1)、1-t-k/3=0・・(2)、t-sℓ=0・・(3)
まず(2)(3)よりk,ℓを消去すると、k=3-3t,ℓ=t/s。
(1)より3-3t-t/s+2t-1=0→t=2s/s+1。        ∴t=2s/s+1



(2)
∠AOB, ∠BOC, ∠COAがわかっている → 内積OA・OB、OB・OC、OC・OAがわかる
∠POQ=90° → 三平方の定理よりOP²+OQ²=PQ² または OP・OQ=0
OA・OB=-1、OB・OC=0、OC・OA=1であり、OP・OQ=0であるから
{(1-s)OA→+sOC→}・{(1-t)OB→+tOC→}=0
⇒ 2t(s+1)+(s-1)=0。
これに(1)の結果を代入してs=1/5。これは0<s<1を満たす。  ∴s=1/5

【講評】
第2問は(1)の計算をきちんと合わせられるかが全てな気がしますね!
(2)は・・・おまけやないか😅


世界一シリーズ「阪大理系数学」です。京大と阪大の数学はすごくいいなと思いました。



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