2021年阪大理系数学第1問

第1問はよくある微分して接線の問題っぽいですね。
捻りは若干あるという程度で、完答はしやすいと思います。

(1)


(ⅰ) 接点のx座標をtとして、接線が点P(a,b)を通るとして求める(パターン解法
  y’=-1/x²より、曲線y=1/x上の点(t,1/t)(t>0)における接線の方程式は
  y=-1/t²(x-t)+1/t=-x/t²+2/t・・・(1)
  (1)が点Pを通るからt≠0より b=-a/t²+2/t⇔bt²-2t+a=0・・・(2)
∴b≠0,ab<1より、t=1/b×(1±√1-ab)


(ⅱ)点P(a,b)を通る直線がy=1/xに接するとして求める。
Pを通る直線をy=m(x-a)+bとおくと
mx-ma+b=1/x→mx²+(b-ma)x-1=0・・(3)の判別式をDとするとD=0より
D=(b-ma)²+4m=0→a²m²+2(2-ab)m+b²=0
a≠0よりm=-1/a²×(-2+ab±√1-ab)

また、(3)の重解はx=-b+ma/2mで、mの値を代入して頑張って計算すると、
 小さい順にs,tに該当。



(2)aの変域は9/4-3a²>0,a>0より、0<a<√3/2。
  (1)よりt/s=(1+√1-ab)²/ab。abをかたまり(=k)と見ると見通しがよくなる
上式よりt/sはabに関して単調減少ゆえ、b=9/4-3a²のもとでabが最大となるときを
考えればよい。



【講評】
(1)は典型的な解法によりストレートに求まる。(2)はabをかたまりと見れるかがkey
 さらに、bがaで表せることから、abの範囲が求まる。(2)は少しだけ捻りがあるとはいえ
 阪大としては標準レベル。


駿台予備校の池谷先生執筆の世界一シリーズをすすめます。自分と考え方が似てるタイプなのか、
個人的にはすごく好評でした。なお、京大の方も書かれています。

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