2021年神戸大理系数学第4問

第4問は直線と式の問題です。(2)(3)は典型的な解法で解けます。問題の意図をきちんと読み取れば難しくはありません。数Ⅲが関与しないので、文系受験生にも解いてほしい問題ですね。



以下解説です。



(1)
x²=mx+1→x²-mx-1=0の2つの実数解をα,βとおくと、α,βは点A,Bのx座標であり、解と係数の関係より、α+β=m、αβ=-1・・①

* ∠AOB=π/2を示すには?
→ (ⅰ)OA→×OB→=0 or  (ⅱ)直線OAとOBの傾きの積が -1

(ⅰ) OA→=(α,α²)、OB→=(β,β²)より、OA→×OB→=αβ(1+αβ)=0
α≠0,β≠0よりOA⊥OBがいえる。

(ⅱ) 直線OAの傾きはα²/α=α、直線OBの傾きはβ²/β=βであり、αβ=-1より
  OA⊥OBがいえる。

(2)
∠AOB=π/2より、線分ABは3点O,A,Bを通る円の直径。
よって、円の中心はABの中点で、半径は1/2 AB。


(3)
y=x²と(2)の円の共有点のx座標は
x²+x⁴-mx-(m²+2)x²=0→x{x³-(m²+1)x-m}=0→x(x+m)(x²-mx-1)=0
x=α,βはx²-mx-1=0の解なので、x=0,α,β,-m。

もし、-mが0,α,βと異なるとすると、共有点は他にも存在することになる。
よって、条件を満たすには-mが0,α,βのいずれかに一致することが必要

・-m=0のとき m=0。
・-m=αのとき -m=1/2(m+√m²+4)→ m<0よりm=-1/√2
・-m=βのとき -m=1/2(m-√m²+4) → m>0よりm=1/√2

         ∴①~③より m=0,±1/√2




【講評】
(1)→ 簡単
(2)→ 解と係数の関係を利用した計算処理がやや厄介です。
(3)→ 「4次方程式で解3つ」より、-mが他どれかと一致する必要があることを見抜きましょう。


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