2021年神戸大理系数学第1問

やってきました。旧帝大7校の次は神戸大学です。神戸大学の問題は、概ね標準的だけど一部やや難な問題が混在する感じで、このレベルをきちんと8割以上取れてくれば、駿台全国でも各科目偏差値70付近を狙えると思います(^^)


第1問は虚数絡みの式が出てきますが、(1)はただ計算して調べるだけ、(2)は直接示そうとしても煩雑になるのが自明です。(1)が誘導なんでしょうけど、問題はどう使うか。

以下解答です。





(1)
(2+i)²=4+4i+i²=3+4i、(2+i)³=(3+4i)(2+i)=6+11i+4i²=2+11i、
(2+i)⁴=(3+4i)²=9+24i+16i²=-7+24i、(2+i)⁵=(-7+24i)(2+i)=-14+41i+24i²=-38+41i
上記より、虚部の整数を10で割った余りはn=2,3,4,5のときの順に4,1,4,1

(2)
(1)から「虚部の整数を10で割った余りは1,4,1,4,1・・を繰り返すのでは?」と推測できる。
(2+i)ⁿ=An+Bi(An,Bは整数)とおくと、(2+i)ⁿ⁺²=(An+B)(3+4i)で、虚部の整数は4An+3Bn。これがBを10で割った余りが同じなので、4An+3B-B=4An+2Bnは10で割り切れるのでは?と考えたい。


Anも絡んできているため、実部を10で割った余りも考える必要がありそうだ。n=2のとき A₂,B₂を10で割った余りは3,4。n=3のときA₃,B₃を10で割った余りは2,1。Bn+2=4An+3Bnであり、Bn+2-Bn=4An+2Bn。また、An+2-A=2An-4B

以下、「A₂n,B₂nを10で割った余りは3,4で、A2n+1、B2n+1を10で割った余りは2,1」・・(*)
であることを数学的帰納法により示す。
(ⅰ)n=2,3のとき、成り立つ。
(ⅱ)n=2k,2k+1(k≧1)のとき(*)が成り立つと仮定すると
   A2k+2-A2k=2A2k-4B2k=2(10M+3)-4(10M’+4)=(10の倍数)
   B2k+3-B2k+1=4A2k+1+2B2k+1=4(10N+2)+2(10N’+1)=(10の倍数)
 → (2+i)ⁿの虚部の整数を10で割った余りは1,4を繰り返す(つまり0にならない)。

   ∴(2+i)ⁿは虚数である。




【講評】
(2)は(1)の結果を利用(応用?)させればできますが、実部の整数も必要なことに気付けるかがkeyでした🔑Bn+2がAとBで表される点から気付きたいところですね~💦しかし、神大にしては難しいので、非医志望の受験生はできなくても及第点だと思います。


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