2021年東大理系数学第6問



例年の第6問は難問率が高いことが多いが・・・今年はそうでもない。
しかし、あるtrap💣に引っかかると満点を逃す羽目になる。
そのtrap💣は(3)に存在しますが・・それが何か気にしながら最後まで解いてみましょう。









(1)
ただの恒等式。一応、定義を確認。

# 恒等式とは?
「f(x)=g(x)がすべてのxについて成り立つ ⇒ xⁿ,xⁿ⁻¹,・・,xの係数および定数項が一致!」


方程式の右辺を展開すると x⁴+(q+r-p²)x²+p(-q+r)x+qrだから、係数比較より

 q+r-p²=0・・・①
 p(-q+r)=b・・ ②
 qr=c・・・・・③

p≠0よりq+r=p²と-q+r=b/pとできることから

(2)
とりあえず{p²-(a²+1)}{p⁴+f(a)p²+g(a)}=0の形より、pとaを含む積の形を出したい
ここで、「③qr=cを未使用」なのと「bとcがaを使って消去できる」ことに着目すると
解けるのではないか?

実際に、qr-c=0を変形すると
  1/2 (p²- b/p)×1/2(p²+ b/p)=c ⇒ p⁶-4cp²-b²=0
  ⇒ p⁶+4(a+3/4)(a²+1)p²-(a²+1)²(a+2)²=0

結果式より逆算して考えると、p²-(a²+1)を因数にもつはずだ!
と当たりをつけて、実際にp²=a²+1とすると上式の左辺は0になる。

p⁶+4(a+3/4)(a²+1)p²-(a²+1)²(a+2)²=0 を変形すると、
{p²-(a²+1)}{p⁴+(a²+1)p²+(a²+1)(a+2)²}=0が得られ、
f(t)=t²+1g(t)=(t²+1)(t+2)²の整式が得られる。また、係数は当然有理数。

(3)
「x⁴+bx+c=(x²+px+q)(x²-px+r)と変形できること」、「b=(a²+1)(a+2)²,
c=-(a+3/4)(a²+1)と表されるとき、(2)で{p²-(a²+1)}{p⁴+(a²+1)p²+(a²+1)(a+2)²}
=0を満たすこと」から考察する。

ここで、(1)(2)であったp≠0の条件が(3)ではないことに注意🚫🚫
→(3)ではp≠0とp=0に場合分けする必要がある!

(ⅰ)p≠0のとき
p⁴+(a²+1)p²+(a²+1)(a+2)²はすべて正の和より正。よって、p²=a²+1が成り立つ。
p²-a²=1⇒(p+a)(p-a)=1
「aは整数」の条件から、p²は整数(有理数)とわかり、これを満たす(a,p)の組は
(a,p)= (0,±1)。このとき、q,rも有理数となり題意を満たす。



(ⅱ)p=0のとき
-p(q-r)=bより(a²+1)(a+2)=0だから、a=-2。
このときq+r=0→r=-q、c=-(-2+3/4)(4+1)=- 25/4より、q²=-25/4となるが、これを満たす実数qはない。

∴(ⅰ)(ⅱ)より、a=


【講評】
(2)は計算がやや煩雑だが、qr=cを使っていない点に着目できれば取れたはず。(3)はp=0の場合を
見落としやすく注意🔰


今回の第1~6問のセットでの目標点は、理Ⅰ,Ⅱは60点、理Ⅲ85点程度かな。
理Ⅲだと1,3,5を完答し2(1)、4(1)(4)、6(1)(2)を上乗せできれば、数学的には合格点でしょう。





鉄緑会の東大数学40年分です。
さすが東大合格者を多数輩出するだけあり、解説も高品質ですね!








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