2021年東大物理第2問

第2問は電磁気💡です。というか、東大の第2問は毎回電磁気で固定ですけど。
Ⅰ,Ⅱはコンデンサー弄繰り回す問題なんで、コンデンサーの性質と電気量保存が理解できて
いれば概ね取れます(処理はめんどい)。

Ⅲはコイルとコンデンサーの共振回路だけど・・・周期T=2π√LCを何となく覚えてるだけの
受験生は(2)以降で跳ね返されたでしょう👣共振回路の理解を深めるには良問だとは思う。


(1) 普通に電気容量の公式を使うとよいのでは?  C₀=εS/d
  (電荷Qのコンデンサーの電場の強さがE=Q/εSであることから、電位差V=Ed、C₀=Q/V
    を用いてC₀=εS/dを出してもよい。)

(2) 図2-2のとき電荷が板にどのように分布するのかを理解する。
    板Bには-の電荷が一様に分布、ACの電位差は0より、Aの下側とCの上側の電荷は0
    であることから、Cの下側に+の電荷がたまると考えられる。

よって、CB間の距離がd-xより、容量d/d-xのコンデンサーに電圧Vがかかった状態といえる。
∴静電エネルギーは 1/2×dC₀V²/d-x =εSV²/2(d-x

(3)コンデンサーの静電エネルギー変化をΔU、電源がした仕事をW₀、外力がした仕事をW
   とすると、     

図1より「電源が電荷ΔQを電圧Vでくみあげた仕事(W₀)」と「外力Fがコンデンサーを広げた
仕事(F(x-d/4))」の和が静電エネルギー変化になったといえるので、
エネルギー保存則は U+F(x-d/4)+ΔQV=U+ΔUのように表される。


(1)状況の解読が大事。十分時間が経過するまで(A,C)と(C,D)は導線で繋がっているので、
   極板AとCとDの上側には電荷は分布しない。つまり、容量2C₀のコンデンサーに
   電圧Vがかかった状態とみなせる。
   ∴ Q₁=0×C₀V、-Q₂=-2C₀V   (ア)0 (イ)2

(2)導線aを外した後、電圧をV⇒αVに変えてからの推移を考える。



(1)α=2。コンデンサーACとDBの合成容量をCとすると、直列回路より
   1/C=1/4C₀+1/2C₀=3/4C₀ ⇒ C=4C₀/3である。

   正確に解かないと後の(3)(4)あたりで詰まってしまうが・・それが無理なら、コイルと
   コンデンサーの共振回路のとき周期T=2π√LC
を使って、勘で解いてしまうのもアリ。
   答自体は4π√LC₀/3


   正確に解くと以下の解答になるが、自分で未知数を設定して立式するのは難しく、
   (3)(4)ができなくなるが、最悪答を合わせればいいような気もする😅 


(2)上記の通り
(3)t=T/4のときコイルには最大電流I₀が流れる。
   コイルに最大電流が流れる⇒dI/dt=0より起電力も0

(4)t=0ではQ₃=4C₀V/3、Q₄=10C₀V/3なので
   E₁=1/2 × 1/4C₀ ×(4C₀V/3)² = 3C₀V²

(5)t=T/4でαの値によらずQ₃=-4C₀V/3、-Q₄=2C₀V/3となる。
  (αの値が変わるとcos2πt/Tの係数が変わるため
   また、周期Tはαによらない。  ∴正しいグラフは

【講評】
Ⅰは(1)(2)を取る。(3)は電磁気におけるエネルギー収支が理解できるかどうか。
Ⅱは導線が存在することによる電荷の動きを理解できるかどうか。
Ⅲは(1)をきちんと立式して出せないと(3)(4)が取れなくなるが、周期の公式T=2π√LC
で凌いでも半分までは取れるかな。

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