2021年名大理系数学第4問

第4問はガウス記号がきました。要は、実数xの整数部分のことです。
例えば[16.3]=16、[3.01]=3ですね。

ガウス記号も難関大学ではよく出るので、何かわからん人は1度確認しておきましょう。











(1) a+1/2は1/2以上3/2未満の値をとるので、a=1/2を境に場合分け
・ 0≦a<1/2のとき a₂=3[a+1/2]-2a=-2a
・ 1/2≦a<1のとき  a₂=3[a+1/2]-2a=-2a+3

したがって、軌跡は y=-2x(0≦x<1/2)、-2x+3(1/2≦a<1)で、
  図は以下の直線(白丸を除く)。


(2) an-[an]≧1/2 ⇒ 「anの小数部分が1/2以上1未満」と解釈
 ① an+1=3([an]+1)―2an≧3[an]+3-2([an]+1/2)=[an]+2>( an -1)+2> an+1>an

     ∴ an<an+1である。

 ② an+1-an>0を示してもよい。
 an+1-an=3[an+1/2]―3an=3([an]+1)-3an=3(1+[ an]- an)>0
 ∴an<an+1

(3) (2)の流れから、an>an+1のとき、an-[an]<1/2かな?と推測。
  an>an+1 → an>3[an+1/2]-2an ⇒ an>[an+1/2]
  これより、[an+1/2]は(anの整数部分)⇒anの小数部分は0より大きく1/2未満
  よって、an+1=3[an]-2an
  anの整数部分をM、小数部分をm(0<m<1/2)とおくと
  an+1=3M-2(M+m)=M-2mで、M-1<an+1<Mより
  [an+1]=M-1=[an]-1   ∴題意が示せた。

(4) [a₁]=[a]=0であることと、[an+1]=[an]-1に着目すると、は初項0、公差-1の等差数列
  なので、[an]=[a1]+(n-1)×(-1)=-n+1
  よって、an+1=-2an-3n+3。

  上の形の漸化式をどう変形するかがポイント。左辺にan+1、右辺にanがあるので、
  -3nをバラして左にn+1、右にnの形を作るようにすればよい。
  (あまり見ない変形だが、「やさしい理系数学」の例題にあったと思う)

 an+1+A(n+1)+B=-2(an+An+B)を満たすAとBを求めると、上式を整理して
 an+1=-2an-3An-(3B+A)より、A=1、3B+A=-3 → A=1、B=-4/3

 ∴ an+1+(n+1)-4/3=-2(an+n-4/3)
  an+n-4/3=(a₁+1-4/3)(-2)n-1 → an=(a-1/3)(-2)n-1-n+4/3

∴ ak(a-1/3)(-2)k-1 -k+4/3



【講評】
 a=1/2を境に状況が変わることに着目。(4)はnが混じる漸化式の変形が鍵であったが、
 経験の有無で差が出たかも。


全体のセットで見ると、例年存在する【4】の難問が影を潜めたため満点の難易度は下がった。
下手したら第3問(2)が最難問だったかも。医学部志望者は8割前後が目標点かな。

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