2021年名大理系数学第3問

第3問は確率。今回は漸化式系ではなく調査系ですかね?
確率は一見道筋が見えないことも多いので、まず手を動かして調査する姿勢が大事ですね。



(1) (b)より、石は右か下にしか移動しないことに着目する。もし最初に3や6を選んだら
  2に行きようがないでしょう。なので、石は最初1か2にあると考えられる。

・最初に2を選ぶとき 1/12
・最初に1を選び次に2を選ぶとき 1/12×1/7=1/84
∴ p₂=1/12+1/84=2/21

(2) 5で終了する可能性がある⇒「その前に1~4に石がある」or「最初に石が5にある」
  どんな手法を取るか?
  →① 最初1,2,3,4,5を出す場合に分けて考える
  →② p₁,p₂,p₃,p₄,p₅を求めて、例えば石が2→5に行くケースをあわせて考える

 結果的には①の方が面倒くさいができなくはない。
 別にゴリ押しでもいいんですよ。正解を出して〇もらうことが受験では一番大事なんで。

  以下、②の方法で解く。
  p₃=1/12+p₁×1/7+p₂×1/5=1/12+1/84+2/105=4/35
  p₄=1/12+p₁×1/7+p₂×1/5+p₃×1/3=4/35+4/105=16/105
  p₅=1/12+p₁×1/7+p₂×1/5+p₃×1/3+p₄×1/2=16/105(1+1/2)=8/35
  ∴ p₅=8/35


 11で終了するとき⇒「その前に2,7,10に石がある」or「最初に11に石がある」
p₆=1/12+p₁×1/7=p₂、p₁₀=1/12+p₁×1/7+p₆×1/5=p₃であり、
p₇=1/12+p₂×1/5+p₆×1/5=2p₂/5+1/12=17/140であるから、
   p₁₁=1/12+p₂×1/5+p₇×1/3+p₁₀×1/2=1/12+2/105+17/420+2/35=1/5
   ∴p₁₁=1/5

(3)  p₅=8/35、p₁₁=1/5
  p₁₂=1/12+p₁×1/7+p₆×1/5+p₁₀×1/2=1/12+p₁×1/7+p₂×1/5+p₃×1/2=3/2p₃
  =3/2 × 4/35=6/35。
また、余事象より、p₇=1-(p₅+p₁₁+p₁₂)=2/5。2/5>8/35>1/5>6/35より、
最も大きいものはp₇=2/5

【講評】
規則がわかれば難しくはないが、(2)以降は調査が煩雑で差が付く印象。
(3)は完全におまけ。(2)をクリアしてればp₁₂も求まるでしょう。

ゴリ押せば出せると確信したら挑戦あるのみです!
受験は一種の点取りゲームです。学力のみならず、根負けしない精神力も非常に大事です。

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