2021年名大理系数学第2問

第2問は対数を用いて大小関係を比較する問題ですね。
数学が苦手な方や対数んも扱いがよくわかってない方は、下手したら(1)で躓いてしまう😥



(1) α=log₂3、β=log₃5、γ=log₅2
底がバラバラなので、見通しをよくすべく、底を揃える(今回は2とする)。
 ここで躓く受験生は結構いると思う😥

  αβγ=(log₂3)×(log₂5/log₂3)×(log₂2/log₂5)=1 ∴題意が示せた。


(2) 「logabでa>1のときb>aなら1より大きい」ことより、まず、γが1より小さいだろう
   と目星をつける。
   γ=log₅2<log₅5=1 他のα,β,δは1より大。

他は1より大きそうだが、ぱっと見はわからんので、差をとってチェック。
α-δ=log₂3-log₂2√2>0、β-δ=log₃5-log₃3√3<0より
β<δ<α.以上より、小さい順にγ,β,δ,α

(3) 3次方程式の解と係数の関係とp=α+β+γに着目すると、
   (x+α)(x+β)(x+γ)=0がx³+px²+qx+1=0になりそうだと目星がつく
   p=α+β+γ、q=αβ+βγ+γα、1=αβγとなる。
 ここで、1/α+1/β+1/γ=αβ+βγ+γα/αβγ=αβ+βγ+γαであることも確認できる。

∴x³+px²+qx+1=0の3つの実数解は-α、-β、-γと特定でき概略図が書ける。

(2)より、大小関係は-α<-β<-γ

γ-1/2=log₅2-log₅√5<0より。、γ<1/2。

以上より、f(-1/2)<0、f(-1)<0、f(-3/2)>0

【講評】
標準的な問題だが、(1)の変形がわからないと詰む点では差が付いたかも。


難関大学の易しめ~標準的な問題を押さえるには「1対1対応の演習」を勧めます👍
しかし、数1,数2,数A・・・とか分かれすぎてるので、特に苦手な分野が含まれる
ものを選ぶとよいでしょう。

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