2021年名大理系数学第1問

名大理系数学は「150分で4問、受験層を考えると1問が割と重い、第4問がかなりの難問
なのが例年の特徴です。解説集とはついてくるけど、あれ要るのか??あれがないとできない
受験生はそもそも合格点にはほど遠いレベルだと思います。

著者は今年も第4問にどんな強烈な問題を仕込んでくるのか🧐❓と
身構えてましたが・・・今年はどうだったのでしょうか?詳しくは第4問の解説にて。




では、第1問です。小問5つは多いな・・でも、直線と式で難しくはなさそうだ。



(1) y=x²、y’=2xより、x=tにおけるC₁の接線の式は
  y=2t(x-t)+t²=2tx-t²   ∴y=2tx-t²

(2) y=2tx-t²がC₂:y=x²+4ax-4a²+4a⁴に接すると考える。(パターン)
  2tx-t²=x²+4ax-4a²+4a⁴ → x²+2(t-2a)x+(4a²-4a⁴-t²)=0・・②は重解をもつ
  ことと同値。②の判別式をD₁とすると
  D₁/4=(t-2a)²-(4a²-4a⁴-t²)=2(t²-2at+2a⁴)
  D₁=0より t²-2at+2a⁴=0・・③

  ③を満たすtが2つ存在すれば、C₂に接するy=2tx-t²が存在するということである。
  ③が異なる2つの実数解をもつ条件は、③の判別式をD₂とすると
  D₂/4=a²-2a⁴=a²(1-2a²)>0  a²>0より、-1/√2<a<0、0<a<1/√2
  いま、aは正の実数より、0<a<1/√2

(3) ℓ,ℓ‘の式にあるtは(2)③式の実数解(t₁,t₂とする)であり、解と係数の関係を使うのでは?
と考えたい。

③の2解をt₁,t₂(t₁<t₂)とすると、解と係数の関係より
t₁+t₂=2a、t₁t₂=2a⁴・・・④
ℓ:y=2t₁x-t₁²  ℓ‘:y=2t₂x-t₂² 2式より x=t₁+t₂/2、y=t₁t₂
これと④より x=a、y=2a⁴。 ∴求める交点の座標は(a,2a⁴)

(4) D₁とD₂を図示化してD₁∩D₂の領域を特定すると、図の斜線部。
求める面積をS(a)とすると


(5) a²-2a⁴に着目すると、a²=tとしたとき、この式は2次関数となる → 平方完成で解ける
S(a)=1/3{-2(a²-1/4)²+1/8}³/²
 0<a²<1/2であるから、a²=1/4つまtりa=1/2のときS(a)は最大。
∴ 最大値はS(1/2)=1/3×1/8√8 =1/48√2

【講評】
簡単な問題の寄せ集めて感じで至って普通。合格を確実にするには完答を目指したいですね。


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