2021年北大理系数学第5問

第5問は数Ⅲの微積分の問題でした。まあよくある問題です。


(1)
x=(1+cosθ)cosθ。 dx/dθ=-sinθcosθ+(1+cosθ)(-sinθ)=-sinθ(1+2cosθ)。

0≦θ≦πより、θとxに関する増減表は次のようになる。

∴ a=(1+cosπ/3)×cos2π/3=-1/4   ∴a = -1/4



(2)
求める面積をSとすると、Sは図の斜線部。



【講評】
(1)は媒介変数表示されたx,yをθで微分するだけ。(2)は∫ydxでyとdxをθで表す方法さえ理解しておけばあとは普通の計算。強いていえば、2sin²θcosθ=(2/3 sin³θ)’に気付くのが少しむずい?
ただ、完答難易度は全統の方が上でしょう。


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