2021年北大理系数学第4問

第4問は数列です。(1)は楽勝、(2)(3)は証明問題ですがすんなりいくでしょうか?
一度tryしてみてください🎵






(1)
n=an bnより、an とbnを漸化式から求めるだけ。
a₂=2a₁+3b₁=7、b₂=a₁+2b₁=4。 ∴c₁=7×4=28



(2)
すべての自然数nでcが偶数 → c₁=偶数の時点で数学的帰納法が思いつく。
(ⅰ) n=1のとき c₁=2より成り立つ。
(ⅱ) n=k(k≧1)のとき、ck=ak bkが偶数であると仮定すると
k+1=(2ak +3bk)(ak+2bk)=2(ak²+3bk²)+7akbk = 偶数。
よって、n=k+1のときも成り立つ。
∴(ⅰ)(ⅱ)より、cnは偶数である。



(3)
n+2=2an+1²+6bn+1²+7an+1bn+1
= 2(2a +3b)²+6(an+2bn)²+7(2a +3b)(an+2bn
=28(an²+3bn²)+97cn。c₂=28であり、cnが28の倍数のときcn+2も28の倍数。
∴ nが偶数のとき、cnは28で割り切れる。
(結局、(3)も数学的帰納法的な解法でしたね💦)


【講評】
(2)(3)もよくある数学的帰納法の解法でした。「すべてのnで~」→数学的帰納法は王道パターン
それで解けない場合もありますが、第一手として試す価値のある解法です。


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