2021年北大理系数学第1問

北海道大学は旧帝大で最も入学難易度は低いと思います。他大学で出題されるような難問も全くないし、大半の問題はやや易~標準だし・・・旧帝大志望からすれば穴場ではないでしょうか?

もちろん数学も標準的。
典型解法を身に付け、数学の苦手克服を目指すには非常に良い練習になると思います。


第1問はベクトルでした。(2)で幾何要素が少し出てきますが、解法は至って典型的です。



(1)
Fは直線OA上にあるから、OF→=ka→(kは実数)とおける。
BF→=OF→-OB→ = ka→-b→。BF⊥OAよりBF→×OA→=0
よって、(ka→-b→)×a→ = k|a→|²-a→×b→ = 0 → k=3/8。
∴OF→ = 3/8 a→


(2)


幾何的に考えると、DEの中点をGとすれば、FG:GA=1:2。



(3)
 △BDEはDEを底辺とすると、高さはFGになる。(1)(2)で垂線が出ているはずなので、垂線を利用して三角形の高さが出せないか検討。



【講評】
(1)→ ただ垂直条件を使うだけ
(2)→ 対称点の問題であり、DEの中点を考えると答を出しやすい
(3)→ 三角形BDEの底辺と高さが見辛いが、FG⊥DEに着目すれば、少し計算は必要だが出る


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