2021年北大物理第1問

北大の理科は2科目150分です。数年前から120分→150分に伸びて問題も増加したのは確かですが、大して難しくなってない気がしました😅


第1問はレール(or糸)に沿った小球の運動です。前半は重力が絡む円軌道の問題、後半は斜方投射の問題。後半は計算が煩雑になる問題もありますが、やってることは標準的。




問1
(1) 位置エネルギーmghが運動エネルギー1/2 mv²になるので
   mgh=1/2 mv²より、v=√2gh


(2) 円形ループを1周するとき、小球は半径aの円運動をする。
  類題経験を何回も積んでいれば、当然最高点でレールから受ける垂直抗力が最小なのは自明。
  最高点での垂直抗力をN、小球の速さをv’とすると、まずエネルギー保存則
   1/2 mv²=mg・2a+1/2 mv’²より、v’²=v²-4ga。

円運動の式より
m・v’²/a=mg+N →  N=m(v’²/a -g)=m(v²/a -5g)
Nが負だと、最高点に達する前に小球は落下するので、N≧0が必要。
よって、N≧0→v²≧5ga→h≧5/2 a。              (答) 5/2 a


(3) 衝突前の速さがv=√2ghで、壁は動かないので、衝突後の速さはe√2gh


(4) n回衝突後の速さがeⁿ√2ghであることより、斜面に戻るための条件は、円形ループの最高点を
通ることであるから
m×e²ⁿ×2gh –4ga/a = mg+N → N=m(2e²ⁿgh/a -5g)≧0より
   h≧5a/2e²ⁿ。   (答)5a/2e²ⁿ



問2
(5) 「同じ質量での弾性衝突→速度交換」はもはや常識化してよい(きちんと求めてもよいが)。
   ∴ 衝突直前のPの速さは√2ghより、求める答も√2gh


(6) エネルギー保存則と、Qが高さh-hcosπ/3=h/2だけ上昇したことより
  1/2 m (√2gh)²=mg×h/2+1/2 mvB² → vB²=2gh-gh=gh →vB√gh


(7)



(8)(9)




【講評】
全体的に難しさはない。全統レベルかも。
問1→ 円軌道を通る小球の運動。まあ普通。
問2→ ただの斜方投射であるが、(9)の計算はやや面倒である。


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