2021年京大理系数学第6問

第6問も小問2つに分かれていて互いに独立した問題。
問1は整数、問2は微分の証明問題でした。








問1 3ⁿ-2ⁿ=素数(p)とかおいたところで、nが素数かどうかハッキリする気配はない。
   ⇒ 命題が正しいのを示すときに対偶も正しいことを示すとよい!

  この対偶を示すという手法・・1度も経験していないとまず思いつかないと思うんだよな💔


問2
y=f(x)のx=aにおける接線を出してみると、
接線y=f’(a)(x-a)+f(a)が原点を通るとき -af’(a)+f(a)=0を満たす。
f(a)=af(1)より -af’(a)+f(a)=0であり、f(a)=af(1)より、-af’(a)+af(1)=0。
両辺aで割ってf’(a)=f(1)

⇒ あれ?方針がよくわからないが、f’(x)x-f(x)はどこかで見た形では?
⇒ 何だろう?あ、商の微分で分子で出てくる形か・・
⇒よって、ひとまず商の整式g(x)=f(x)/x(x≠0)を準備しよう!

よって、g(x)=f(x)/x(x≠0)とすると、g(x)は微分可能で
g’(x)=f’(x)x-f(x)/x²。また、g(a)=f(a)/a=af(1)/a=f(1)=g(1)より、g(a)-g(1)=0。

平均値の定理より、g’(c)=0(1<c<a)となる実数cが存在し
f(c)-cf‘(c)=0・・①。
点(c,f(c))における曲線y=f(x)の接線の方程式はy=f’(c)x+f(c)-cf’(c)で、
これは①より原点を通る。

∴ y=f(x)の接線で原点を通るものが存在する。


【講評】
問1は対偶の利用、問2は商の微分の形に着目し、さらに平均値の定理の利用。
どちらも演習を積んでいれば「どこかで見たことあるな」と思うけど、自分で解答を作る
となるとやや難しい。

第1~5問までがほぼ完成していればここは0点でも仕方ないともいえるが、医学部志望者なら
両方落とすのは避けたいところかな。


「世界一わかりやすい京大の理系数学」「冷やしあめ」を提供したところで、京大理系数学の解説
は終了します👍では、お疲れ様でした。


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