2021年京大理系数学第2問

第2問は平面座標の問題です。これも非常によくあるタイプですね。京大受験層を意識して
言うと、さすがに点Qは出せるでしょう。

<接線を求める>
 y=1/2 (x²+1)、y’=x
 点Pのx座標をtとすると、Qのx座標もtを用いて表せそうだ。
 P(t,1/2 t²+1/2)におけるCの接線の方程式は
  y=t(x-t)+1/2 t²+1/2=t x-1/2 t²+1/2であり、
 接線がx軸と交わるときのx座標は、0=tx-1/2 t²+1/2 →x=1/2(t-1/t)
   ∴ Q(t/2-1/2t,0)

 接線の傾きがtのとき、QH=t-(t/2-1/2t)=t/2+1/2t。
 QH²:PQ²=1:t²+1だから
 L²=PQ²=(t²+1)(t/2+1/2t)²= (t²+1)³ / 4t² (t≠0)
 L²の形から商の微分をする方針は立つはず。t²=s(s>0)とおき、
 f(s)=(s+1)³/sとおくと、f’(s)=3(s+1)².s-(s+1)³/s² = (s+1)²(2s-1)/s²

増減表より、f(s)の最小値はf(1/2)=27/4

  ∴ Lmin=√1/4×f(1・2)=3√3/4

【講評】
京大を目指してちゃんと勉強してきた人なら方針に迷うことはないでしょう。L²はtの商の形です
が、平方完成や相加相乗ではうまくいかなさそうですね。
平方完成や相加相乗平均の関係では難しい場合は、迷わず微分で進めてみるのがポイントです!


「世界一わかりやすい京大の理系数学」おすすめしときます👍
なお、阪大の方も池谷先生執筆なので、相性が合えば両方買うのもアリですね!

コメント

タイトルとURLをコピーしました