2021年京大理系数学第1問

今年の第1問は別個の問題2つで40点配点・・・2018年以前ではみられない配点で来ましたか。
ついでに、第6問も40点配点となってます。

問1はベクトル、問2は確率ですが、両者とも全統記述模試問題で出てもおかしくないレベル
なので、京大合格を目指す受験生なら取りたいですね👌

問1 AB→、AC→を含む平面をαとすると
PQ→⊥(平面α) ⇔ PQ→・ AB→=PQ→・AC→=0 (これは基本事項でしょう)

(答1)  点Mが平面α上にあるとして
   AM→=sAB→+tAC→ とすると、OM→=OA→+sAB→+tAC→
   OA→=(1,0,0)、AB→=(-1,-1,0)、AC→=(-1,0,2)より、OM→=(1-s-t,-s,2t)。
  よって、PM→=(-s-t,-s-1,2t-1)である。

  PM→⊥AB→かつPM→⊥AC→だから
  PM→・AB→=(-s-t,-s-1,2t-1)・(-1,-1,0)=0⇒ 2s+t=-1・・①
  PM→・AC→=(-s-t,-s-1,2t-1)・(-1,0,2)=0⇒s+5t=2 ・・②

  ∴①,②より s=-7/9、t=5/9であるから、PM→=(2/9,2/9,1/9)
   したがって、OQ→=OP→+2PM→=(13/9,5/9,11/9)
  ∴ Q(13/9,5/9,11/9)

(答2) 平面の方程式で考える。(これは余力があれば覚えるとよい)
平面の方程式の導き方
平面上の点をR(x,y,z)とおく。AB→=(-1,-1,0)、AC→=(-1,0,2)より、平面αに垂直
なベクトルの1つをn→=(1,a,b)とすると、n→・AB→=n→・AC→=0より
-1-a=-1+2b=0 → a=-1,b=1/2。よって、2n→=(2,-2,1)。

これより、平面の方程式はn→・AR→=0から
(2,-2,1)・(x-1,y,z)=0→ 2x-2y+z=2
・・(*)

点Pから平面αに下ろした垂線の足をHとおくと、tを実数としてPH→=2t n→と表される。
 OH→=OP→+2t n→=(1,1,1)+t(2,-2,1)=(2t+1,-2t+1,t+1)
 Hは平面α上にあるから、(*)より、2(2t+1)-2(-2t+1)+(t+1)=2 → t=1/9
 これより、PH→=(2/9,-2/9,1/9)であるから
 OQ→=OP→+2PH→=(1,1,1)+2(2/9,2/9,1/9)=(13/9,5/9,11/9)
 ∴ Q(13/9,5/9,11/9)



問2 各事象(場合の数)を数えあげる。

  「n回目に初めて赤かつ全色が出る」
 ⇒「(n-1)回目まで赤以外の3色が全て出てn回目に赤を出す」と解釈

・3色が出るとは?→3ⁿ⁻¹通りから1色の場合と2色の場合は除く!
全ての取り出し方は4ⁿ通りで、(n-1)回目までに赤以外を出す方法は3ⁿ⁻¹通り。
(ⅰ)全て同じ色の玉を取り出す方法は3通り
(ⅱ)3色中2色の玉を取り出す方法は₃C₂×(2ⁿ-2)=3(2ⁿ-2)通り


よって、(n-1)回目までに赤以外の3色が出てn回目に赤が出るのは
3ⁿ⁻¹-{3+3(2ⁿ-2)}/4ⁿ =  3ⁿ⁻¹-3・2ⁿ⁻¹+3/4ⁿ 通り



【講評】
ベクトルの垂直条件と余事象の確率・・・・う~ん、典型的すぎてコメントの余地なし(笑)
平面の方程式は余力があれば覚えといて損はないかな?という程度。


今回紹介するのは、駿台予備校の池谷先生執筆の「世界一わかりやすい京大の理系数学」です。
1990年代~2000年前半の難しい時代の数学の問題が多く載ってて値段も安いため、最新で
ないのをおすすめします。着眼点を細かく記載してくれているので、相手が京大とはいえ、
全統記述で偏差値60程度あれば理解可能な内容となっています。

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