2021年京大物理第2問

 第2問は電磁気です。まず(1)の磁束とは何か?をきちんと理解することが先決。
(2)以降は電源の向きを一定時間ごとにコロコロ変えたときのコンデンサー電気量の
 動きをみる問題で、数式を用いた考察力が問われます。個人的には第2問の後半が
 今年の最難問
ですが、コンデンサーの理解を深めるには良い問題と思います。


(1) 
(イ) 導体棒が円運動するときの起電力自体は京大受験生なら経験済だろう。
    求め方を2通り示す。
1⃣ S(t)=(扇形OXPの面積)とするときの磁束変化量を考える。
S(t+Δt)-S(t)=πL²×π(t+Δt-t)/2πT = πL²Δt/2T
 ∴起電力V=|ΔΦ/Δt|=|B{S(t+Δt)-S(t)}/Δt|πBL²/2T 

2⃣ 速さvで動く導体棒の起電力がvBLであることを利用する。
中心からの長さx(0≦x≦L)の微小部分(長さΔx)に生じる起電力は、速さv=πx/Tとして、
πx/T ・B・x =πBxΔx/T

   よって   

 フレミング左手の法則および導体棒中の電子(-)が反時計回りに動く(=+が時計回りに動く)
 と解釈
すると、起電力の向きはO→Pの向き。

(ロ)t=0ではコンデンサーの電荷はまだ0(=電位差も0)
   ∴IR=V=πBL²/2Tより I=πBL²/2TR

(ハ)(ニ) 0<t<Tにおいて πBL²/2T=IR+Q/Cが成り立つとき、I=ΔQ/Δt。
    微小時間Δtで・・抵抗のジュール熱はI²RΔt、静電エネルギーの増加量は
    (Q+ΔQ)²-Q²/2C=QΔQ/C=QIΔt/C

(ホ) I²RΔt+QIΔt/C=IΔt(IR+Q/C)=IΔt×πBL²/2T =πIBL²Δt/2T

(2)
(へ)t=Tで定常状態になった⇒コンデンサーに電圧πBL²/2Tがかかる
   ∴Qc=C×πBL²/2T=πCBL²/2T


(ト)t=0のときのΔQ/Δt=Iが図2の接線の傾きだから
   IΔtc=Q⇒ tc=Qc/I=πCBL²/2T × 2TR/πBL² =CR

問1 折り返した後は起電力の向きが逆転する。

t=Tのとき、流れる電流I‘は πBL²/2T-I’R+πBL²/2T=0より、I‘=πBL²/RT=2I
よって、接線の傾きは向きも考えると図2の接線の傾きの-2倍。
∴T≦t≦2Tの時間変化は下図。

(3)
(チ) Q(t)=Q∞+(Q₀-Q∞)e⁻a(t-t₀)
   0≦t≦Tでは、Q∞=Qcとおけるので、x=e⁻aTとおくと
   Q₀=0、t₀=0より Q(T)=Qc-Qc e⁻aT=Qc (1-x)  ∴Q(T)=(1-x)×Qc

(リ)T≦t≦2Tでは、t₀=T、Q₀=(1-x)Qc、Q∞=-Qcなので
   Q(2T)=-Qc+x(2-x)Qc=-(1-x²)Qc       ∴ Q(2T)=-(1-x²)×Qc

(ヌ)2T≦t≦3Tでは、t₀=2T、Q₀=-(1-x)²Qc、Q∞=Qcなので
   Q(3T)=Qc+{-(1-x)²Qc-Qc}x=(-x³+2x²-2x+1)Qc=(1-x)(1-x+x²)Qc
   ∴ Q(3T)=(1-x)(1-x+x²)×Qc


問2 十分時間がたつと時間Tの間にQ(t)が-4Qc/9から4Qc/9まで変化したと解釈して
   式(ⅲ)を使う。ここでは、Q∞=Qcのときを考えて






【講評】
(1)(イ)は磁束の求め方を復習には良い。(ロ)~(ホ)は簡単。
(2) ΔQ/Δt=Iがわかれば簡単。京大受験生なら一度は経験済のはず。問1は少し応用的。
(3) (リ)以降がやや難しい。特にQ₀の値を逐次変えて調査するところがが難しい。

京大物理詳解です。「詳解」なだけあり、赤本シリーズより手厚い解説がおすすめです👏

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