2021年 東大理系数学第4問


見るからに手強そうな第4問です。先に言っとくと、今年のセットでは最難問だし、
(2)は数学得意な受験生でも落として問題ないです。

ただ、第4問に秘められた東大からのメッセージは「難しすぎるから捨てていいよ!」
ではないのです😂それが何かを探しながら、ひとまず解いてみてください。




















(1)
「K,Lを4で割った余りは等しい」と「A,Bを4で割った余りは等しい」の記述から、
4の倍数とわかっているK-LとA-BをKA=LBからあぶりだせないか?と考える。

  KA=LBの両辺からKBを引くと
  K(A-B)=(L-K)Bで、K-LとA-Bの形が両方出た!

ここで、K,Lは奇数より4の倍数にはならず、K-Lが4の倍数であることより、
L-Kも4の倍数。   ∴ 証明できた。


(2)(3)は今年の最難問なので、できなくても仕方ない。私もできませんでした(+o+)💦
でも、(4)は解けるので、配点2/20点くらいだが、捨ててはいけない!まず(4)を解きます。


(4)
(3)の結果を使うのはミエミエ。4×505+1=2021、4×9+1=37より、
当初a=505,b=9として値を下げていく。4で割った余りについて


(2)
パッと見はよくわからないので、(a,b)を小さな値にして試してみる

・(a,b)=(2,1)のとき
A=₉C₅=2×63、B=₂C₁=2より、AとBはともに、(2のt乗)×(奇数)の形で表される
のではないか?と推測できる。今示すのは KA=LBとなる奇数K,Lの存在なので、
B/A=L/K≠偶数を示せばよいのではないか?と推測できる。

ただし、この後が難しい!
というのも、よくやる変形 aCb=a!/b!(a-b)!を実施すると詰んでしまう( ゚Д゚)

よって、Aの分母・分子に現れる整数を4k,4k+2,奇数の形のものに分類する

  ここで、aCbの後は奇数なので、A/B=奇数。 ∴ 示せた。

(3)
 a-bが偶数のとき、(2a-i)-(2b-i)=2(a-b)は4の倍数で(4a+1-2j)-(4b+1-2j)=4(a-b)
 も4の倍数とでき、A/B=L/K ⇔ KA=LBのKとLがどちらも4で割った余りが等しいといえる。
∴ (1)より、4a+1C4b+1aCbを4で割った余りは一致するといえる。

【講評】
(2)(3)は捨て問でも仕方ない
ただ、(2)(3)が難しすぎるために気分が萎えてしまい、(4)も捨てた受験生は多そう。
(4)は一読すれば(3)を使うのは自明なんだが・・・こういう失点は勿体ないよね😱

最後に、本問の東大からのメッセージ👇
(2)(3)は手も足も出んやろうけど、後に簡単な(4)を配置したからそれは諦めずに取れ😎」


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