2021年 東大理系数学第2問



まずは解いてみましょう。(1)は虚数 i を含むがただの計算。(2)は未経験だと難しい😓
理Ⅰ,Ⅱなら捨て問でも仕方ないね。理Ⅲでも第1問が完答できれば(2)は落としても問題ない。
計算と図の処理も大変だが、一番大事なのは「3つの未知数(α,β,γ)を含むf(2)の存在範囲を示す
解法を説明できること」。







(1)
f(0)=c=α             a+b+c=β・・①
f(1)=a+b+c=β    →   -a+bi+c=γ・・②
f(i)=-a+bi+c=γ          c=α・・③

未知数a,b,cの3つからなる方程式が3つなので、これは求まる


(2)
f(2)=4a+2b+cにa,b,cの値を代入すると、
f(2)=α(-1-2i)+β(3+i)+γ(-1+i)  ・・A または 
f(2)=(-α+3β-γ)+(-2α+β+γ) i ・・・ B

[解1] Aを使う場合
複素数平面をベクトル風に考える。

つまり、α(-1-2i)+β(3+i)を α(-1,-2)+β(3,1) (1≦α≦2,1≦β≦2)とみなす。

これを図示すると、ある平行四辺形の内部と周を表す。

  ここで、Dの各点にγ(-1+i)(1≦γ≦2)を足して平行移動させた領域が求める領域。

∴ 求める領域は下図の斜線部分(境界を含む)。

         (図3)




[解2] Bを使う場合

 複素数平面では、複素数での処理に行き詰まったとき
→ 最終手段w=x+yi(x,yは実数)でごり押し!



【講評】
(2)は複素数平面をベクトル風に捉える問題を解いた経験の有無で差が付いたと思われる😅
w=αz₁+βz₂+γz₃で、αz₁+βz₂が四角形(平行四辺形)を表すことに気付き、その四角形を
さらにz₃方向にγ倍平行移動させることを考えたい。


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