2021年 東大理系数学第1問

 まずは解いてみましょう🎵
 (1)は落とすと論外、(2)はやや難レベルの定石を学習できる良問😎
 








(1)
 ・2曲線が2つの共有点をもち、そのx座標が-1<x<0に1つ、0<x<1に1つある。
⇒ x²+ax+b=-x² つまり、2x²+ax+b=0の解が-1<x<0と0<x<1に1つずつ。

 f(x)=2x²+ax+bとおくと、下図より、


f(-1)>0かつf(0)<0かつf(1)>0 ⇔ b>a-2かつb<0かつb>-a-2。
∴ 領域(以下Dとする)を図示すると、下図の斜線部分(境界を含まない)となる。


(2)
・y=x²+ax+bで2変数a,bを動かして求めるのは困難である。


   では、どう考えるか?
 → そもそも、何のために(1)があるのか🤔?
 → (1)でab平面で(a,b)の存在領域Dが出ているが、どう使うのか?

 → C:y=x²+ax+bを(x,y)を定数、(a,b)を変数とみなして、b=(-x)a+(y-x²)・・(*)
    とおくとき、領域D内の点(x,y)が直線(*)上に存在するための条件を求めるとよい。
 つまり・・(*)が領域Dを通るようなx,yの条件式を出せばよさそう😛

(*)の右辺をg(a)とおく。
(ⅰ)-x≧1 つまり x≦-1のとき
   共有点をもつ条件は g(2)>0かつg(-2)<0であり、
   下図の直線①,②の間にある直線は上の不等式を満たす。 ∴x²+2x<y<x²-2x

(ⅱ)-1≦x≦0のとき
   共有点をもつ条件は g(2)>0かつg(-2)<0であり、

   下図の直線③④の間にある直線は上の不等式を満たす。 ∴ x²-2<y<x²-2x
  

※ どっかで見た光景だなあ・・あ!これ、数学Ⅱの「軌跡と領域」で出てくる解法だ😃💡

領域Dはy軸対称で、-x⇒xとすると、直線もy軸対称となる。以上、(ⅰ)(ⅱ)とy軸に関する対称性から、放物線C上の点(x,y)の存在範囲は下図の斜線部(境界を含まない)。


(答)



<講評>
(2)は(1)で出たab平面の領域を使えないかを考えたい。
b=(-x)a+(y-x²)と変形してしまえば、「軌跡と領域」でよくみる典型パターン(「線形計画法」と呼ぶらしい🧐)に帰着するが・・見方を変えて式変形できるかがkeyである。


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